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%%There is just one section and two subsections.

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\begin{document}





\title{Stochastische Signale und Systeme}
\subtitle{Zusammenfassung Formeln}
\author{Daniel Thiem}
\maketitle

\tableofcontents
\numberwithin{equation}{chapter}
\chapter{Kombinatorik \& reine Stochastik}

\section{Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion}
\begin{equation}
	f(x) = P(X=x)
\end{equation}

\section{Verteilungsfunktion}
\begin{equation}
	F(x) = P(X\leq x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t)dt 
\end{equation}

\section{Formel von Bayes}

\begin{equation}
	P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} 
	\Rightarrow P(A_k|B) = \frac{P(A_k \cdot P(B|A_k))}{\sum\limits_{i=1}^n P(B|A_i) \cdot P(A_i)}
\end{equation}



\section{Erwartungswerte}
\subsection{Allgmeine Erwartungswertberechnung}


Sei $f(x)$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von $X$

\begin{equation}
	E(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty x \cdot f(x) dx
\end{equation}

\subsection{Erweiterte Erwartungswertberechnung}

Sei $Y=g(X)$ und $f(x)$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von $X$

\begin{equation}
	E[Y] = E[g(X)] =  \int\limits_{-\infty}^\infty g(x) \cdot f(x) dx
\end{equation}

\subsection{Rechenregeln für Erwartungswerte}
\begin{equation}
	E[A \cdot B] = E[A] \cdot E[B]
\end{equation}

\begin{equation}
	E[aX +b] = aE[X] + b
\end{equation}

\section{Verteilungen}

\subsection{Normalverteilung}
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}
\end{equation}

\chapter{Discrete-Time-Fourier-Transformation}

\section{Abtastung}
\subsection{Im Zeitbereich}
Sei $x_c(t)$ das zu abtastende Signal und $T_s=\frac{1}{f_s}$ die Abtastdauer bzw. Abtastfrequenz
\begin{equation}
x_s(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty x_c(nT_s)\delta(t-nT_s)
\end{equation}
\subsection{Im Frequenzbereich}

\begin{align}
X_s(j\Omega)&=\frac{1}{T_s}\sum\limits_{k=-\infty}^\infty X_c(j(\Omega-\frac{2\pi k}{T_s})) \notag\\
	&=\frac{1}{T_s}\sum\limits_{k=-\infty}^\infty X_c(j\Omega-kj\Omega_s) \quad \text{mit} \quad \Omega_s=\frac{2\pi}{T_s}\\
\end{align}

\subsubsection{Zusammenhang $\Omega$ und $n$}
ACHTUNG: Dieser zusammenhang ist in SSS etwas anders im gegensatz zu dem Hilfsblatt von DSS
\begin{equation}
\omega = \Omega T_s
\end{equation}

\chapter{Prozesse}

\section{Strikte Stationarität}
\begin{equation}
F_x(x_1,\dots ,x_N;n_1,\dots,n_N) = F_x(x_1,\dots ,x_N;n_1+n_0,\dots ,n_N+n_0) \quad \text{mit $N\rightarrow \infty$}
\end{equation}

\section{Second order moment function(SOMF)}
\begin{equation}
r_{XX}(n_1,n_2)=E[X(n_1)X(n_2)]
\end{equation}
\subsection{Stationär im weiteren Sinne} \label{stationary}
\begin{subequations}
\begin{align}
E[X(n)]&=\text{const.} \\
r_{XX}(n_1,n_2) &= r_{XX}(\kappa) = E[X(n+\kappa)\cdot X(n)] \quad \text{mit} \quad \kappa = |n_2-n_1|
\end{align}
\end{subequations}
\subsection{Eigenschaften der SOMF}
\begin{subequations}
\begin{align}
r_{XX}(0) &= E[X(n)^2]=\sigma_X^2+\mu_x^2 \\
r_{XX}(\kappa) &= r_{XX}(-\kappa) \\
r_{XX}(0) &\geq|r_{XX}(\kappa)| \quad ,|\kappa|>0
\end{align}
\end{subequations}

\section{Cross-SOMF}
\begin{equation}
	r_{XY}(n_1,n_2) = E[X(n_1) \cdot Y(n_2)]
\end{equation}

\subsection{Gemeinsame Statonarität (joint stationary)}\label{jointstationary}
\begin{equation} 
	r_{XY} = r_{XY}(n_1-n_2) = r_{XY}(\kappa) \quad\text{mit}\quad \kappa=n_1-n_2
\end{equation}
\subsection{Eigenschaften der Cross-SOMF}
\begin{subequations}
\begin{align}
r_{XY}(-\kappa) &= r_{YX}(\kappa) \\
|r_{XY}(\kappa)| &\leq \sqrt{r_{XX}(0) \cdot r_{YY}(0)} \\
|r_{XY}(\kappa)| &\leq \frac{1}{2}(r_{XX}(0)+r_{YY}(0))
\end{align}
\end{subequations}
\subsection{Unkorreliertheit (uncorrelated)}
\begin{equation}
	r_{XY}(\kappa)=\mu_x \cdot \mu_y
\end{equation}
\subsection{Orthogonalität}
\begin{equation}
	r_{XY}(\kappa)=0
\end{equation}
\section{Central-SOMF}
\begin{equation}
c_{XX}(n+\kappa,n) = E[(X(n+\kappa)-E[X(n+\kappa)]) \cdot (X(n)-E[X(n)])]
\end{equation}

\subsection{Eigenschaften der Central-SOMF}
Falls $X$ zumindest \emph{stationär im weiteren Sinne}(\ref{stationary}) ist, gilt
\begin{equation}
c_{XX}(\kappa)=r_{XX}(\kappa)-(E[X(n)])^2 
\end{equation}

\subsection{Überführung der Central-SOMF in die Varianz}
\begin{equation}
c_{XX}(0)=Var(X)
\end{equation}
\section{Kovarianz (Covariance)}
\begin{equation}
c_{XX}(n+\kappa,n) = r_{XX}(n+\kappa,n)-E[X(n+k)]E[X(n)]
\end{equation}

\subsection{Eigenschaften der Kovarianz}

Falls $X$ und $Y$ zumindest \emph{gemeinsam stationär im weiteren Sinne }(\ref{jointstationary}) sind, gilt:

\begin{equation}
c_{XY}(\kappa)=r_{XY}(\kappa)-E[X(n)]E[Y(n)]
\end{equation}

\end{document}