thesis

ss2013/Bachelor Thesis/thesis_ug/tex/berechnung.tex

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-In diesem Kapitel werden einige Berechnungsans"atze beschrieben, sowie Probleme mit diesen Ans"atzen. 
+In diesem Kapitel werden einige Lösungsansätze für, im vorigem Kapitel beschriebene Problemstellungen und Zielsetzung.
 
-\subsection{Ans\"atze}{
-	Um den Verkehrsfluss zu bestimmen, ist eine Berechnung n"otig, welche von den Sensorwerten ausgehend, den einzelnen virtuellen Sensoren und Stra"sen in der Kreuzungs"ubersicht einen Verkehrswert zuweist. Hierf"ur wurden einige Algorithmen ausporbiert. Im Folgendem seien [], Neuronale Netze sowie Lineare Gleichungssysteme als Ans"atze vorgestellt um besagte Berechnung durchzuf"uhren.
-	\subsubsection{Markov-Ketten HMM}{
+\subsection{L"osungsans\"atze}{
+	Das Ziel für 'virtuelle Sensoren' Werte zu berechnen war das erste Ziel, welche zu erreichen galt. Da virtuelle Sensoren in dem entwickelten Verkehrsmodell ausschließlich Aus- und Eingänge modellieren. Einen Verkehrswert für die jeweiligen Kreuzungsein- und -ausgänge berechnen zu können würde dem Ziel Flüsse zwischen Kreuzungen berechnen zu können einen Schritt näher rücken.\\ \\	
+	
+	\subsubsection{Hidden Markow Modell}{
 		Problem, nicht zyklischer Graph. Ein Verkehrsnetz hat viele Kreise und ein solches Modell ist aus diesen Gr"unden nicht sinnvoll.
 		Als Ansatz kann man ein Markov-Modell auf einen zuf"allig ausgew"ahlten nicht zyklischen Graphen berechnen. Berechnet man nun viele solcher zuf"allig nicht zyklischen Graphen, und mittelt man die Werte f"ur die einzelnen unbekannten Sensoren,
 		k"onnte eine 'gute' L"osung herauskommen.\\
 		Problem: Es ist nicht gegeben das die Daten dann noch irgend ein Realit"atsbezug haben,
 		au"serdem entspricht das Verfahren durch den "zufall" eher besserem Raten.
 	}
+	
+	\subsubsection{Wegfindungsalgorithmen}{
+		Um den Weg eines Autos zu simulieren bieten sich Wegfindungsalgorithmen an, da sie den kürzesten Weg zum Ziel finden und das dem Verhalten des Menschen ähnelt. Die Idee die Anzahl der Autos anhand der Sensorwerte zu bestimmen und diese durch das Straßennetz zu ihrem Ziel fahren zu lassen erschien als eine gute Lösung. Aus dem Studium bekannte Algorithmen wie der A* können ein solches Wegfindungsproblem lösen. Die Abschätzung für die Distanz zweier Knoten wäre dabei die Luftlinie. \\ \\
+		
+		Allerdings stellte sich heraus das keinerlei Daten über das Ziel der Autofahrer in der Stadt Darmstadt bekannt oder gemessen wurden. Da kein Wegfindungsalgorithmus ohne Ziel funktionieren kann wurden Wegfindungsalgorithmen verworfen.
+	}
+	
 	\subsubsection{Neuronale Netze}{
 		Neuronale Netze zum lernen der Abbiegewahrscheinlichkeit.
 	}
-	\subsubsection{Gleichungssystem}{
+	\subsubsection{Lineares Gleichungssystem}{
+		
 		Gehen wir von einem Geregelten, Verkehrsordnung achtenden  Verkehr aus, k"onnen wir f"ur jeden Ausgangsknoten durch addition derjenigen Sensorwerte, welche auf den Ausgang zeigen berechnen, wieviele Autos am Ausgangsknoten angekommen sein m"ussen. Das Problem dabei sind die Mischspuren, "uber welche der Verkehr in verschiedene Richtungen flie"sen kann. F"ur diese Sensoren werden Abbiegewahrscheinlichkeiten ben"otigt um zu berechnen, wie viel Prozent der Autos, welche "uber den Sensor Fahren an dem jeweiligen Ausgangsknoten angelangen. Der Sensorwert wird entsprechend mit der jeweiligen Abbiegewahrscheinlichkeit multipliziert und auf den Ausgang addiert.\\
 		
 		Da lineare Gleichungssysteme das Ergebnis dieser Arbeit sind ist ihnen ein eigenes Kapitel, um genauer darauf einzugehen.
 	
-	}	
-	\subsubsection{Wegfindungsalgorithmen}{
-		Auf einem Graphen bietet es sich an einen Wegfindungsalgorithmus zu verwenden, um Autos realistisch zu modellieren.
-		Problem ist nur, dass keine Daten "uber das Ziel der Autos bekannt ist.
-	}
+	}		
 }
 \subsection{Lineares Gleichungssystem}{
-	\subsection{Grundlagen}{
-	Was ist ein lineares gleichungssystem
-	darstellung, bezeichnung, rechnen
+	\subsubsection{Grundlagen}{
+		Ein lineares Gleichungssystem ist ein System linearer Gleichungen. Ein solches System hat n Unbekannte und m Gleichungen. Eine allgemeine Darstellungsform ist die folgende:\\
+		\begin{equation}
+			\begin{matrix}
+			a_{11} x_1 +  a_{12} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n} x_n & = & b_1\\
+			a_{21} x_1 +  a_{22} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n} x_n & = & b_2\\
+			&&&\vdots&\\
+			a_{m1} x_1 +  a_{m2} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn} x_n & = & b_m\\
+			\end{matrix}
+		\end{equation}
+		
+		Ein lineares Gleichungssystem ist lösbar, wenn alle Gleichungen erfüllbar sind. Ist dies nicht der Fall spricht man von einem unlösbaren Gleichungssystem.\\
+		Lösbare Systeme lassen sich nochmals in die 'eindeutig Lösbaren' und 'nicht eindeutig Lösbaren' unterteilen. Für ein eindeutig lösbares Gleichungssystem kann eine numerische Lösung für x_1 bis x_n gefunden werden, im Gegensatz zu nicht eindeutig Lösbaren System, welche eine Lösung nur in Abhängigkeit von einem oder mehreren Parametern angeben.\\ \\
+		
+		Eine gängige Art der Darstellung von linearen Gleichungssystemen ist die Matrixdarstellung. Das System zerfällt dabei in drei Teile. Die Koeffizientenmatrix enthält dabei die Werte a_{11} bis a_{nm}. Die unbekannten werden in einer einspaltigen Matrize zusammengefasst, ebenso wie die Ergebniswerte b_1 bis b_m.
+		[matrix]
+		
+		Eine Matrixmultiplikation versetzt das System wieder in seine Ursprungsform.
 	}
 	
-	\subsubsection{Lineares Gleichungssystem einer Kreuzung}{					
-		Matrix * Sensorwertematrix = Ausgangsbelegung
+	\subsubsection{Lineares Gleichungssystem einer Kreuzung}{		
+		Die Beziehungen zwischen Induktionsschleifensensor und Kreuzungsausgang kann durch eine lineare Gleichung ausgedrückt werden.
+		Für den Ausgang der Kreuzung [] in richtung [] wäre dies folgende:
+		[Gleichung nur Einspur]
+		
+		Diese Berechnung erweist sich, da nur Einspursensoren in das Ergebnis einfließen, als trivial. Im Gegensatz zu Mischspursensoren, welche einen Wert für zwei oder mehr Ausgänge liefern. Ein Koeffizient für jede Richtung, in die ein Autofahrer, der den Sensor überfahren hat, bestimmt welcher Anteil des gemessen Verkehrswertes auf den jeweiligen Ausgang übertragen werden muss. Für diese Koeffizienten wurden die im Kapitel [Daten] vorgestellten Abbiegewahrscheinlichkeiten verwendet. Da alle Autos eine der Richtungen, welche ihnen die mit dem Sensor bestückte, Straße vorgibt, wählen müssen, muss die Summe aller Abbiegewahrscheinlichkeiten der verschiedenen Richtungen eins ergeben.\\ \\
+		
+		[Lösbarkeit ohne Abbiegewahrscheinlichkeiten]
+		
+		Dekoriert man die Matrizen, welche im Kapitel [Modell], beschrieben werden, mit den Abbiegewahrscheinlichkeiten für die Mischspursensoren, lässt sich ein Gleichungssystem der Form
+		[Form]
+		aufstellen, welches jedem Kreuzungsaus- sowie -eingang einen Wert zuweist.			
 		
 		Ausgang = A{K € e(K,Ausgang)| += k.count * e.abbiegewahrscheinlichkeit}
 		Eingang = A{K € e(Eingang,K)| += k.count}
 		
 		Zweirichtungeniterration vom Sensor weg.
 	}
-	\subsubsection{Gleichungen zwischen Kreuzungen}{
-		zwischen den Kreuzungen ist das Modell ungenau. Hier k"onnen wir die Verkehrsbelastung bestimmen. Und wir k"onnen Voraussagen, dass in der n"achsten Minute viele/wenige Autos an Kreuzung x von Kreuzung y ankommen werden
-	}
-	\subsection{Lineares Gleichungssystem als Graph}{
+	\subsection{Lineares Gleichungssystem am Graph}{
 		Ein Gleichungssystem der Form (oben beschrieben) kann als graph dargestellt werden. Die berechnung des System kann ebenfalls am Graphen passieren.
 		
 		Ausgehend von einer direkten Verbindungen von Sensorknoten zu virtuellem Kreuzungsein- bzw. ausgang Knoten, kann um die Ausgänge zu berechnen der Graph entlangiterriert werden. Die Ausgänge berechnen sich dabei gegen die Flussrichtung.
@@ -48,6 +75,10 @@ In diesem Kapitel werden einige Berechnungsans"atze beschrieben, sowie Probleme
 		
 		Forward/Backward Iteration.
 	}
+	\subsubsection{Verkehrsfluss zwischen Kreuzungen}{
+			
+			zwischen den Kreuzungen ist das Modell ungenau. Hier k"onnen wir die Verkehrsbelastung bestimmen. Und wir k"onnen Voraussagen, dass in der n"achsten Minute viele/wenige Autos an Kreuzung x von Kreuzung y ankommen werden
+		}
 	\subsubsection{Berechnungsmatrizen}{
 		W"ahrend oben Verbindungsmatrizen beschrieben werden, welche ausschlie"slich modellieren, ob ein Knoten(virtuell oder Sensor) mit einem anderen verbunden ist,
 		so kann man bei bekannten Abbiegewahrscheinlichkeiten f"ur die Kreuzung diese direkt in der Ausgangsmatrix verzeichnen:		

ss2013/Bachelor Thesis/thesis_ug/tex/propziel.tex

@@ -24,16 +24,19 @@ In diesem Kapitel wird darauf eingegangen, welche Probleme sich aufgetan haben,
 	S[] -> Virtual Out A23 = S[]
 }
 
-\subsection{Ziel: Werte für virtuelle Sensoren}{
+\subsection{Zielsetzung}{
+	\begin{itemize}
+		\item{Werte für virtuelle Sensoren}
+		\item{Flüssen zwischen den Kreuzungen}
+		\item{Werte für Kreuzungen ohne Sensoren}
+		\item{Blick in die Zukunft}
+	\end{itemize}
 	Während der Modellierung wurden sog. 'virtuelle Sensoren' den real vorhandenen hinzugefügt, um Kreuzungen darstellen zu können. Als Zielsetzung wurde definiert Werte für diese zu berechnen.
-}
-\subsection{Ziel: Flüssen zwischen den Kreuzungen}{
+
 	Die Zweistufenmodellierung erlaubt mit der Kreuzungsübersicht einen Blick auf alle modellierten Kreuzungen, stellt die Sensoren mit ihren Werten allerdings nicht dar.
 	Als Zielsetzung wurde definiert Flüsse zwischen den Kreuzungen zu bestimmen.
-}
-\subsection{Ziel: Werte für Kreuzungen ohne Sensoren}{
+
 	Eine weitere Zielsetzung der Arbeit ist es Verkehrswerte für kleinere Kreuzungen ohne Sensoren zu berechnen. 
-}
-\subsection{Ziel: Blick in die Zukunft}{
+	
 	Vorhersage des Verkehrs
 }