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@ -1,18 +1,19 @@
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\section{L"osungsans"atze}\label{sec:berechnung}
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In diesem Kapitel werden drei L"osungsans"atze f"ur die Herausforderungen der Verkehrsflussberechnung anhand des in Kapitel \autoref{sec:modell} beschrieben Modells vorgestellt. Dabei konnten f"ur Kreuzungen ein lineares Gleichungssystem entwickelt werden, welches sowohl die Verkehrswerte f"ur die Ausg"ange als auch f"ur die Eing"ange der entsprechenden Kreuzung berechnen kann. Anhand der Berechnungen innerhalb von Kreuzungen konnten Verkehrsflusswerte f"ur zwischen den Kreuzungen bestimmt werden.\\ \\
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Es galt folgende Herausforderung zu l"osen:
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In diesem Kapitel werden drei L"osungsans"atze f"ur die Verkehrsflussberechnung anhand des in Kapitel \autoref{sec:modell} beschrieben Modells vorgestellt. Dabei konnten f"ur Kreuzungen ein lineares Gleichungssystem entwickelt werden, welches sowohl die Verkehrswerte f"ur die Ausg"ange als auch f"ur die Eing"ange der entsprechenden Kreuzung berechnen kann. Anhand der Berechnungen innerhalb von Kreuzungen konnten Verkehrsflusswerte f"ur zwischen den Kreuzungen bestimmt werden.\\ \\
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Es galt folgende Werte zu berechnen und Fragen zu lösen:
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\begin{enumerate}
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\item{Werte f"ur virtuelle Sensoren}\label{problem:1}
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\item{Wie viele Autos verlassen die Kreuzung in Richtung Norden/S"uden/Westen/Osten}\label{problem:3}
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\item{Wie viele Autos kommen auf die Kreuzung aus Richtung Norden/S"uden/Westen/Osten}\label{problem:4}
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\item{Validierung von Sensorwerten, mithilfe von Validierungssensoren}\label{problem:2}
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\item{Verkehrswerte f"ur Seitenstraßen ohne Sensoren}\label{problem:5}
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\item{Fl"ussen zwischen den Kreuzungen}\label{problem:6}
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\item{Verkehrswerte f"ur einen Zeitpunkt in der Zuknunft berechnen,}\label{problem:6}
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\item{Werte f"ur virtuelle Sensoren innerhalb einer Kreuzung.}\label{problem:1}
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\item{Wie viele Autos verlassen die Kreuzung in Richtung Norden/S"uden/Westen/Osten.}\label{problem:2}
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\item{Wie viele Autos kommen auf die Kreuzung aus Richtung Norden/S"uden/Westen/Osten.}\label{problem:3}
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\item{Validierung von Sensorwerten, mithilfe von Validierungssensoren.}\label{problem:4}
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\item{Verkehrswerte f"ur Seitenstraßen ohne Sensoren.}\label{problem:5}
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\item{Fl"ussen zwischen den Kreuzungen.}\label{problem:6}
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\item{Verkehrswerte f"ur einen Zeitpunkt in der Zuknunft berechnen.}\label{problem:7}
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\end{enumerate}
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Es wurden im Rahmen dieser Arbeit mehrere Berechnungsans"atze daraufhin "uberpr"uft, ob sie eines der gegebenen Problem l"osen kann. Die beschriebenen Ans"atze sind 'Hidden Markow Modell', 'Wegfindungsalorithmen' wie A* und 'lineares Gleichungssystem'. \\ \\
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Das Ziel f"ur \ref{problem:1} virtuelle Sensoren Werte zu berechnen war das erste Ziel, welche zu erreichen galt. Da virtuelle Sensoren in dem entwickelten Verkehrsmodell ausschließlich Aus- und Eing"ange modellieren, w"urden damit ebenfalls die Herausforderung einen Verkehrswert f"ur die jeweiligen Kreuzungsein- und -ausg"ange zu berechnen gel"ost werden.
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Es wurden im Rahmen dieser Arbeit mehrere Berechnungsans"atze daraufhin "uberpr"uft, ob sie eines der gegebenen Problem l"osen kann. Die beschriebenen Ans"atze sind 'Hidden Markov Modell', 'Wegfindungsalorithmen' wie A* und 'lineares Gleichungssystem' und werden in jeweils in einem eigenen Unterkapitel diskutiert.\\ \\
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Das Ziel f"ur \ref{problem:1} virtuelle Sensoren Werte zu berechnen war das erste Ziel, welche zu erreichen galt. Da virtuelle Sensoren in dem entwickelten Verkehrsmodell ausschließlich Aus- und Eing"ange modellieren, da alle modellierten Kreuzungen auf den Einfahrtsspuren mit Sensoren bestückt sind. Kann die Herausforderung, Werte für virtuelle Sensoren zu berechnen, gelöst werden, so w"urden damit ebenfalls die Herausforderung einen Verkehrswert f"ur den jeweiligen Kreuzungsausgang zu berechnen gel"ost werden \ref{problem:2}.
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\subsection{L"osungsansatz: Hidden Markow Modell}\label{sec:berechnung:hmm}
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[todo]
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Das Hidden Markow Modell(HMM) ist ein Modell zur Beschreibung von Systemen mit versteckten Zust"anden. Es ist nach dem russischen Mathematiker Andrei Andrejewitsch Markow benannt. Es schien ein geignetes Modell zu sein, da es vermag sowohl bekannte als auch unbekannte Einheiten zu modellieren, in Verbindung einer "Ubergangswahrscheinlichkeit. [ref] Im Folgendem werden die Grundlagen von Hidden Marokw Modellen umrissen.
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\subsubsection{Grundlagen}
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@ -25,68 +26,77 @@ Das Ziel f"ur \ref{problem:1} virtuelle Sensoren Werte zu berechnen war das erst
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au"serdem entspricht das Verfahren durch den "zufall" eher besserem Raten.
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\subsection{L"osungsansatz: Wegfindungsalgorithmen}\label{sec:berechnung:astar}
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Um den Weg eines Autos zu simulieren bieten sich Wegfindungsalgorithmen an, da sie den k"urzesten Weg zum Ziel finden und das dem Verhalten des Menschen "ahnelt. Die Idee die Anzahl der Autos anhand der Sensorwerte zu bestimmen und diese durch das Straßennetz zu ihrem Ziel fahren zu lassen erschien als eine gute L"osung. Aus dem Studium bekannte Algorithmen wie der A* k"onnen ein solches Wegfindungsproblem l"osen. Insbesondere die M"oglichkeit einen Graphen direkt zur Berechnung zu verwenden, ließen diesen Ansatz erfolgsversprechend aussehen. Die Absch"atzung f"ur die Distanz zweier Knoten w"are dabei die Luftlinie zwischen ihnen. Da keine Werte "uber einzelne Autos, sondern nur Messwerte "uber eine Minute zur Verf"ugung standen musste nicht nur ein einzelnes Auto, sondern eine Autokolonne simuliert werden.\\ \\
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Allerdings stellte sich heraus das keinerlei Daten "uber das Ziel der Autofahrer in der Stadt Darmstadt bekannt oder gemessen wurden. Eine Erhebung war ebenfalls nicht m"oglich, da eine Vielzahl von Ausg"angen aus der 'Ministadt' untersucht werden m"ussten. Da kein Wegfindungsalgorithmus ohne Ziel funktionieren kann wurden Wegfindungsalgorithmen als L"osungsansatz verworfen.
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Um den Weg eines Fahrzeugs oder einer Fahrzeugkolonne zu simulieren bieten sich Wegfindungsalgorithmen an, da sie den k"urzesten Weg zum Ziel finden und das dem Verhalten des Menschen, einen Ort anzufahren, "ahnelt. Die Idee die Anzahl der Autos anhand der Sensorwerte zu bestimmen und diese durch das Straßennetz zu ihrem Ziel fahren zu lassen erschien als eine gute L"osung. Aus dem Studium bekannte Algorithmen wie der A* k"onnen ein solches Wegfindungsproblem l"osen. Insbesondere die M"oglichkeit einen Graphen direkt zur Berechnung zu verwenden, ließen diesen Ansatz erfolgsversprechend aussehen. Die benötigte Absch"atzung der Distanz zwischen Start und Ziel Knoten w"are dabei die Luftlinie zwischen diesen. Da keine Werte "uber einzelne Autos, sondern nur Messwerte "uber eine Minute zur Verf"ugung standen musste nicht nur ein einzelnes Auto, sondern eine Autokolonne simuliert werden.\\ \\
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Allerdings stellte sich heraus das keinerlei Daten "uber das Ziel der Autofahrer in der Stadt Darmstadt bekannt oder gemessen wurden. Eine Erhebung war ebenfalls nicht m"oglich, da eine Vielzahl von Ausg"angen aus der 'Ministadt' untersucht werden m"ussten. Da kein Wegfindungsalgorithmus ohne Ziel funktionieren kann wurden Wegfindungsalgorithmen als L"osungsansatz verworfen.
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\subsection{L"osungsansatz: Lineares Gleichungssystem}\label{sec:berechnung:lgs}
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Das in Kapitel \autoref{sec:modell} beschriebene Modell erlaubt es mithilfe von linearen Gleichungssystemen einen Wert f"ur jeden Kreuzungsein- und Ausgang zu berechnen. Vorraussetzung daf"ur ist, dass alle Kreuzungseing"ange auf jeder Spur mit Sensoren best"uckt sind, sowie dass alle Verkehrsteilnehmer sich an die Straßenverkehrsordnung halten. Insbesodere das Einhalten der Spurrichtung ist Vorraussetzung f"ur eine korrekte Berechnung. In Kapitel \autoref{sec:modell} werden die Einschr"ankungen des Modells n"aher erl"autert.\\ \\
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Durch Addition derjenigen Sensorwerte, welche auf den jeweiligen Ausgang zeigen, kann ein Wert f"ur diesen ausgerechnet werden. F"ur Mischspursensoren werden daf"ur Abbiegewahrscheinlichkeiten ben"otigt, um den Sensorwert entsprechend dem Abbiegeverhalten der Verkehrsteilnehmer auf die Ausg"ange zu verteilen. Die Abbiegewahrscheinlichkeit gibt dabei an, wieviel Prozent des Verkehrs, welcher "uber den Sensor fließt dem jeweiligen Ausgangsknoten zugeordnet werden kann. Der Sensorwert wird entsprechend mit der jeweiligen Abbiegewahrscheinlichkeit multipliziert und auf den Ausgang addiert. Einspursensoren k"onnen dagegen direkt auf den Ausgang addiert werden ohne das Abbiegewahrscheinlichkeiten von N"oten sind. Um das Berechnungsmodell einheitlich zu halten wurde bei der Matrizenrechnung eine Abbiegewahrscheinlichkeit von 1.0 f"ur Einspursensoren angegeben.\\ \\
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Das in Kapitel \autoref{sec:modell} beschriebene Modell erlaubt es mithilfe von linearen Gleichungssystemen einen Wert f"ur jeden Kreuzungsein- und Ausgang zu berechnen. Voraussetzung daf"ur ist, dass alle Kreuzungseing"ange auf jeder Spur mit Sensoren best"uckt sind, sowie dass alle Verkehrsteilnehmer sich an die Straßenverkehrsordnung halten. Insbesodere das Einhalten der Spurrichtung ist Voraussetzung f"ur eine korrekte Berechnung. In Kapitel \autoref{sec:modell werden die Einschr"ankungen des Modells n"aher erl"autert.\\ \\
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Durch Addition derjenigen Sensorwerte, welche auf den jeweiligen Ausgang zeigen, kann ein Wert f"ur diesen ausgerechnet werden. F"ur Mischspursensoren werden daf"ur Abbiegewahrscheinlichkeiten ben"otigt, um den Sensorwert entsprechend dem Abbiegeverhalten der Verkehrsteilnehmer auf die Ausg"ange zu verteilen. Die Abbiegewahrscheinlichkeit gibt dabei an, wieviel Prozent des Verkehrs, welcher "uber den Sensor fließt dem jeweiligen Ausgangsknoten zugeordnet werden kann. Der Sensorwert wird entsprechend mit der jeweiligen Abbiegewahrscheinlichkeit multipliziert und auf den Ausgang addiert. Einspursensoren k"onnen dagegen direkt auf den Ausgang addiert werden, auf den sie zeigen, ohne das Abbiegewahrscheinlichkeiten von N"oten sind. Um das Berechnungsmodell einheitlich zu halten wurde bei der Matrizenrechnung eine Abbiegewahrscheinlichkeit von 1.0 f"ur Einspursensoren angegeben, da 100\% des Verkehrs, welcher über den Einspursensor fließt, an dem entsprechenden Ausgang ankommen muss.\\ \\
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Im Folgendem werden die Grundlagen von linearen Gleichungssystemen umrissen, woraufhin die entwickelte Berechnungsmethodik f"ur Kreuzungen und zwischen Kreuzungen genauer untersucht wird.
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\subsubsection{Grundlagen}\label{sec:berechnung:lgs:grund}
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Ein lineares Gleichungssystem ist ein System linearer Gleichungen. Ein solches System hat n Unbekannte und m Gleichungen. Eine allgemeine Darstellungsform ist die folgende:\\
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\begin{equation}
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\begin{matrix}
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a_{11} x_1 + a_{12} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n} x_n & = & b_1\\
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a_{21} x_1 + a_{22} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n} x_n & = & b_2\\
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&\vdots&&\vdots&\\
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a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn} x_n & = & b_m\\
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\end{matrix}
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\end{equation}
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Ein lineares Gleichungssystem ist l"osbar, wenn alle Gleichungen erf"ullbar sind. Ist dies nicht der Fall spricht man von einem unl"osbaren Gleichungssystem. L"osbare Systeme lassen sich nochmals in die 'eindeutig L"osbaren' und 'nicht eindeutig L"osbaren' unterteilen. F"ur ein eindeutig l"osbares Gleichungssystem kann eine numerische L"osung f"ur $x_1$ bis $x_n$ gefunden werden, im Gegensatz zu nicht eindeutig L"osbaren System, f"ur welche eine L"osung nur in Abh"angigkeit von einem oder mehreren Parametern angeben werden kann. Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann eindeutig l"osbar wenn R(rang)...[]\\ \\
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Eine g"angige Art der Darstellung von linearen Gleichungssystemen ist die Matrixdarstellung. Das System zerf"allt dabei in drei Teile. Die Koeffizientenmatrix enth"alt die Werte $a_{11}$ bis $a_{nm}$. Die Unbekannten $x_1$ bis $x_n$ werden in einer einspaltigen Matrize zusammengefasst, ebenso wie die Ergebniswerte $b_1$ bis $b_m$.
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\begin{equation}
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\begin{pmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
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||||
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
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||||
&\vdots&&\vdots&\\
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||||
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
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||||
\end{pmatrix}
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||||
*
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\begin{pmatrix}
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||||
x_1 \\
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||||
x_2 \\
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||||
\vdots \\
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||||
x_n \\
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\end{pmatrix}
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||||
=
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\begin{pmatrix}
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b_1 \\
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||||
b_2 \\
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\vdots \\
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b_n \\
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\end{pmatrix}
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\end{equation}
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F"ur ein solches Gleichungssystem existieren verschiedene L"osungsverfahren. Ein Beispiel ist der Gaus-Algorithmus.
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[gaus]
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Neben dem Gaus-Algorithmus existieren viele weitere L"osungsalgorithmen, einschließlich numerische Verfahren. Die Qualit"at der L"osung h"angt dabei von dem gew"ahlten L"osungsverfahren und dem vorliegenden Gleichungssystem ab.
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Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS[gls:lgs], ist ein System linearer Gleichungen. Ein solches System hat n Unbekannte und m Gleichungen. Eine allgemeine Darstellungsform ist in Abbildung \ref{lgs:allgemein} beschrieben.\\
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\begin{equation}\label{lgs:allgemein}
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\begin{matrix}
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a_{11} x_1 + a_{12} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n} x_n & = & b_1\\
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a_{21} x_1 + a_{22} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n} x_n & = & b_2\\
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&\vdots&&\vdots&\\
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a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn} x_n & = & b_m\\
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\end{matrix}
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\end{equation}
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Ein lineares Gleichungssystem ist l"osbar, wenn alle Gleichungen erf"ullbar sind. Ist dies nicht der Fall spricht man von einem unl"osbaren Gleichungssystem. L"osbare Systeme lassen sich nochmals in die 'eindeutig L"osbaren' und 'nicht eindeutig L"osbaren' unterteilen. F"ur ein eindeutig l"osbares Gleichungssystem kann eine numerische L"osung f"ur $x_1$ bis $x_n$ gefunden werden, im Gegensatz zu nicht eindeutig L"osbaren Systemen, f"ur welche eine L"osung nur in Abh"angigkeit von einem oder mehreren Parametern angeben werden kann.\\ \\
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Eine g"angige Art der Darstellung von linearen Gleichungssystemen ist die Matrixdarstellung. Das System zerf"allt dabei in drei Teile. Die Koeffizientenmatrix enth"alt die Werte $a_{11}$ bis $a_{nm}$ und wird mit $A$ bezeichnet. Die Unbekannten $x_1$ bis $x_n$ werden in einer einspaltigen Matrize zusammengefasst, ebenso wie die Ergebniswerte $b_1$ bis $b_m$. Die beiden Matrizen werden entsprechend mit $x$ und $b$ bezeichnet. Eine Allgemeine Darstellung eines LGS in Matrixform ist in Abbildung \ref{lgs:matrix} dargestellt.
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\begin{equation}\label{lgs:matrix}
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\begin{pmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
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&\vdots&&\vdots&\\
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||||
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
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||||
\end{pmatrix}
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||||
*
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\begin{pmatrix}
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||||
x_1 \\
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x_2 \\
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||||
\vdots \\
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x_n \\
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\end{pmatrix}
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=
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\begin{pmatrix}
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b_1 \\
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||||
b_2 \\
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||||
\vdots \\
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b_n \\
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||||
\end{pmatrix}
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\end{equation}
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Ein Kurzschreibweise, dieser Matrixform ist die sog. erweiterte Koeffizientenmatrix und ist in Abbildung \ref{lgs:koefmatrix} in allgemeiner Form abgebildet. Zur Bildung dieser Matrix wird die Koeffizientenmatrix $A$, zusammen mit dem Ergebnisvektor $b$ in eine Matrix geschrieben. Die Unbekannten der Matrix $x$ entfallen in dieser Darstellung.
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\begin{equation}\label{lgs:koefmatrix}
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\left(\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right) =
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\left(\begin{array}{cccc|c}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
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a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
|
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\end{array}\right)
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\end{equation}
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Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann eindeutig l"osbar wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix; $R(A) = R(A|b)$. Gilt zusätzlich die Bedingung, dass der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix der Anzahl der Unbekannten des Vektors $x$ entspricht, so ist das LGS eindeutig lösbar. \\ \\
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F"ur ein solches Gleichungssystem existieren verschiedene L"osungsverfahren. Ein Beispiel ist der Gaus-Algorithmus.
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[gaus ref]. Neben dem Gaus-Algorithmus existieren viele weitere L"osungsalgorithmen, einschließlich numerische Verfahren. Die Qualit"at der L"osung h"angt dabei von dem gew"ahlten L"osungsverfahren und dem vorliegenden Gleichungssystem ab.
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\subsubsection{Lineares Gleichungssystem einer Kreuzung}\label{sec:berechnung:lgs:xr}
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Die Beziehungen zwischen Induktionsschleifensensoren und Kreuzungsein- und Ausg"angen kann durch eine lineares Gleichungssystem ausgedr"uckt werden. Der Wert f"ur den Ausgang errechnet sich aus der Summe aller, diesem Kreuzungseingang zugeordneten, Sensoren. Ein Kreuzungsausgang errechnet sich aus den Werten derjenigen Sensoren, wessen Spur dem Verkehr erlauben diesen Kreuzungsausgang zu bedienen. Dabei muss zwischen Einspursensoren und Mischspursensoren unterschieden werden. Einspursensoren k"onnen direkt auf den Ausgang addiert werden, w"ahrend f"ur Mischspursensoren eine Abbiegewahrscheinlichkeit ben"otigt wird, die angibt, wie viel Verkehr in die entsprechende Richtung fließt. Durch Multiplikation des Sensorwertes mit der Abbiegewahrscheinlichkeit erh"alt man den gesuchten Teil des Verkehrs und kann diesen auf den Ausgang addieren. F"ur den Kreuzungseingang werden keine Abbiegewahrscheinlichkeiten ben"otigt und k"onnen direkt, unerheblich ob nun Misch- oder Einzelspursensor, auf den Eingang addiert werden.\\ \\
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Allgemein kann der Wert des Kreuzungsein- und Ausgang durch folgende Gleichung ausgedr"uckt werden:
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\begin{equation}
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Die Beziehungen zwischen Induktionsschleifensensoren und Kreuzungsein- und Ausg"angen kann durch eine lineares Gleichungssystem ausgedr"uckt werden. Der Wert f"ur den Ausgang errechnet sich aus der Summe aller, diesem Kreuzungseingang zugeordneten, Sensoren. Ein Kreuzungsausgang errechnet sich aus den Werten derjenigen Sensoren, wessen Spur dem Verkehr erlauben diesen Kreuzungsausgang zu bedienen. Dabei muss zwischen Einspursensoren und Mischspursensoren unterschieden werden. Einspursensoren k"onnen direkt auf den Ausgang addiert werden, w"ahrend f"ur Mischspursensoren eine Abbiegewahrscheinlichkeit ben"otigt wird, die angibt, wie viel des gemessenen Verkehrs in die entsprechende Richtung fließt. Durch Multiplikation des Sensorwertes mit der Abbiegewahrscheinlichkeit erh"alt man den gesuchten Teil des Verkehrs und kann diesen auf den Ausgang addieren. Um einen Wert für den Kreuzungseingang zu berechnen, werden keine Abbiegewahrscheinlichkeiten ben"otigt und die Sensorwerte k"onnen direkt, unerheblich ob nun Misch- oder Einzelspursensor, auf den Eingang addiert werden. Dies begründet sich in der Tatsache, das alle Sensoren an den Kreuzungseingängen verbaut sind und der gemessene Wert eindeutig einem Eingang zugeordnet werden kann.\\ \\
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Allgemein kann der Verkehrswert des Kreuzungsein- und -Ausgang durch die in Abbildung \autoref{equ:xrallgemein} beschriebene Gleichung ausgedr"uckt werden.
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\begin{equation}\label{equ:xrallgemein}
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Kreuzungausgang_x = \sum ES_{xi} + \sum MS_{xj}*ABW_{xj}
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\end{equation}
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\begin{equation}
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Kreuzungseingang_x = \sum S_{xi}
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\end{equation}
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$Kreuzungseingang_x$ bezeichnet denjenigen Kreuzungseingang der betrachten Kreuzung, welcher zur benachbarten kreuzung x direkt verbunden ist.\\
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$Kreuzungausgang_x$ bezeichnet denjenigen Kreuzungsausgang der betrachteten Kreuzung, welche vor der benachbarten kreuzung x liegt.
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$Kreuzungausgang_x$ bezeichnet denjenigen Kreuzungsausgang der betrachteten Kreuzung, welche vor der benachbarten Kreuzung x liegt.\\
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$ES_x$ bezeichnet alle Einspursensoren welche auf den Kreuzungsausgang x zeigen.\\
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$MS_x$ bezeichnet alle Mehrspursensoren welche auf den Kreuzungsausgang x zeigen.\\
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$ABW_xi$ bezeichnet die Abbiegewahrscheinlichkeit des Mehrspursensors $MS_{xi}$ in Richtung Kreuzung x.\\
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$S_x$ bezeichnet alle Sensoren welche direkt nach einem Kreuzungseingang in der Straße verbaut sind und entsprechend eine Verbindung, gegen die Fließrichtung, zu dem Kreuzungseingang x hat.\\
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Die Berechnung erfolgt dabei f"ur alle Aus- bzw. Eing"ange mithilfe eines linearen Gleichungssystems, um unbekannte Werte, mithilfe der Abh"angigkeiten der Gleichungen untereinander, zu ermitteln.\\
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||||
Eine allgemeine Form des Gleichungssystem f"ur Ein- bzw. Ausg"ange ist in [] beschrieben.
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\begin{equation}
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Eine allgemeine Form des Gleichungssystem f"ur Ein- bzw. Ausg"ange ist in Abbildung \ref{equ:algcalcmatrix} beschrieben.
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\begin{equation}\label{equ:algcalcmatrix}
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\begin{Bmatrix}
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& S_1 & S_2 & S_3 & \dots & S_n\\
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In_1 & 0/1 & 0/1 & \dots & 0/1\\
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@ -134,8 +144,9 @@ Das Ziel f"ur \ref{problem:1} virtuelle Sensoren Werte zu berechnen war das erst
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Out_m\\
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\end{Bmatrix}
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\end{equation}
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||||
Zur Erl"auterung wird nochmals die A23\ref{abb:a23} betrachtet. Die in Kapitel \autoref{sec:modell} entwickelte Matrixdarstellung erweist sich als hilfreich und kann durch dekorieren mit Abbiegewahrscheinlichkeiten zur Berechnung einer L"osung benutzt werden. Hierf"ur werden Verbindungen zwischen Einspursensoren und dem Aus- bzw. Eingang nach wie vor mit einer '1' markiert, da alle verkehr der "uber diesen Sensor fließt genau einem Ausgang zugeordnet werden kann, kann 100\% des Wertes auf den entsprechenden Ausgang "ubertragen werden. F"ur Mischspursensoren dagegen werden die Verbindungen durch eine Fließkommazahl ersetzt, welche die jeweilige Abbiegewahrscheinlichkeit repr"asentiert. Durch Multiplikation der Matrix mit den Sensorwerten, kann ein Ergebnis f"ur die Ein- und Ausg"ange berechnet werden, sofern aller, in die Kreuzung einstr"omender, Verkehr von Sensoren erfasst wird.
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\begin{equation}
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||||
Zur Erl"auterung wird nochmals die A23\ref{abb:a23} betrachtet. Die in Kapitel \autoref{sec:modell} entwickelte Matrixdarstellung erweist sich als hilfreich und kann durch dekorieren mit Abbiegewahrscheinlichkeiten zur Berechnung einer L"osung genutzt werden. Hierf"ur werden Verbindungen zwischen Einspursensoren und dem Aus- bzw. Eingang nach wie vor mit einer '1' markiert, da alle Verkehr der "uber diesen Sensor fließt genau einem Ausgang zugeordnet werden kann, kann 100\% des Wertes auf den entsprechenden Ausgang "ubertragen werden. F"ur Mischspursensoren dagegen werden die Verbindungen durch eine Fließkommazahl ersetzt, welche die jeweilige Abbiegewahrscheinlichkeit repr"asentiert. Durch Multiplikation der Matrix mit den gemessenen Sensorwerten eines bestimmten Zeitpunktes, kann ein Wert f"ur die Ein- und Ausg"ange zu diesem Zeitpunkt berechnet werden, sofern aller, in die Kreuzung einstr"omender, Verkehr von Sensoren erfasst wird und für alle Mischspursensoren Abbiegewahrscheinlichkeiten vorliegen. Abbildung \ref{abb:a23calc} beschreibt diese Berechnung für die Ein- und Ausgänge der Kreuzung A23 zum Zeitpunkt [].
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Eingangsmatrix:[todo]
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\begin{equation}\label{abb:a23calc}
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\begin{Bmatrix}
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& D1 & D2 & D3 & D4 & D5 & D6 & D7 & D8 & D9 & D10\\
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A12 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
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@ -163,8 +174,8 @@ Das Ziel f"ur \ref{problem:1} virtuelle Sensoren Werte zu berechnen war das erst
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A28 & 2\\
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A4 & 3\\
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||||
\end{Bmatrix}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\end{equation}
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Ausgangsmatrix:
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||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{Bmatrix}
|
||||
& D1 & D2 & D3 & D4 & D5 & D6 & D7 & D8 & D9 & D10\\
|
||||
@ -194,10 +205,11 @@ Das Ziel f"ur \ref{problem:1} virtuelle Sensoren Werte zu berechnen war das erst
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A104 & 3\\
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\end{Bmatrix}
|
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\end{equation}
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F"ur die Kreuzung A23 ist es nicht n"otig ein Gleichungssystem zu l"osen, da alle ben"otigten Werte bekannt sind. Dies ist darauf zur"uckzuf"uhren, dass alle Sensorwerte f"ur diese Kreuzung bekannt sind und alle eingehenden Spuren mit Sensoren best"uckt sind. Desweiteren stehen f"ur alle Mischspursensoren Abbiegewahrscheinlichkeiten der Stadt Darmstadt zur Verf"ugung.\\
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Im folgenden wird diskutiert in wiefern das Gleichungssystem mit unbekannten Eingangsspuren bzw. unbekannten Abbiegewahrscheinlichkeiten gel"ost werden kann.\\ \\
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Durch hinzuf"ugen es virtuellen Sensors f"ur einen weiteren Kreuzungseingang wird das Gleichungssystem zu einem eben solchen, da nun unbekannte in der Gleichung auftauchen. Dies f"uhrt unmittelbar zur Unl"osbarkeit des Systems, da Rang[]. Am Beispiel der A23 sei das demonstriert. Hierf"ur wird der Sensor D10 zu einer virtuellen Sensor, welcher keine Werte liefert.
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\begin{equation}
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F"ur die Kreuzung A23 ist es nicht n"otig ein Gleichungssystem zu l"osen, da alle ben"otigten Werte bekannt sind und jede lineare Gleichung für sich gelöst werden kann. Dies ist darauf zur"uckzuf"uhren, dass alle Sensorwerte f"ur diese Kreuzung bekannt und alle eingehenden Spuren mit Sensoren best"uckt sind. Desweiteren stehen f"ur alle Mischspursensoren Abbiegewahrscheinlichkeiten der Stadt Darmstadt zur Verf"ugung.\\ \\
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Im folgenden wird diskutiert in wiefern das Gleichungssystem mit unbekannten Eingangsspuren bzw. unbekannten Abbiegewahrscheinlichkeiten gel"ost werden kann.\\
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Durch hinzuf"ugen es virtuellen Sensors f"ur einen weiteren Kreuzungseingang wird das Gleichungssystem zu einem eben solchen, da nun Unbekannte in der Gleichung auftauchen. Dies f"uhrt unmittelbar zur Unl"osbarkeit des Systems, da Rang[]. Am Beispiel der A23 sei das demonstriert. Hierf"ur wird der Sensor D10 zu einer virtuellen Sensor, welcher keine Werte liefert (siehe Abbildung \ref{abb:a23d10virt}).
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[todo]
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\begin{equation}\label{abb:a23d10virt}
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\begin{Bmatrix}
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& D1 & D2 & D3 & D4 & D5 & D6 & D7 & D8 & D9 & V10 &\\
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A12 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
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@ -226,78 +238,69 @@ Das Ziel f"ur \ref{problem:1} virtuelle Sensoren Werte zu berechnen war das erst
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A104 & A104\\
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\end{Bmatrix}
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\end{equation}
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Dieses System ist nicht l"osbar, da zu viele Unbekannte in der Gleichung auftauchen. Dies liegt insbesondere an fehlenden Ausgangswerten. Diese k"onnen allerdings nicht bestimmt werden.[zeitproblem]
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Durch Zus"atzliche Gleichungen k"onnen die Werte weiter eingeschr"ankt werden. Dies f"uhrt allerdings nicht zur L"osbarkeit des Systems.
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\begin{enumerate}
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\item{Abbw addiert = 1}
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\item{Vallidierungssensoren}
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\end{enumerate}
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Eine weitere Anwendung ist die Berechnung der Abbiegewahrscheinlichkeiten. Unter der Annahme, dass alle Werte der Sensoren bekannt sind, allerdings f"ur einen Mischspursensor die Abbiegewahrscheinlichkeiten nicht bekannt sind. Allerdings ist auch dieses System nicht l"osbar, da Ausgangswerte fehlen.
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Dieses System ist nicht l"osbar, da zu viele Unbekannte in der Gleichung auftauchen. Dies liegt insbesondere an fehlenden Ausgangswerten der Kreuzung. Diese k"onnen allerdings nicht bestimmt werden. Siehe hierfür \ref{sec:modell}.[todo?] Durch Zus"atzliche Gleichungen k"onnen die Werte weiter eingeschr"ankt werden. Dies f"uhrt allerdings nicht zur L"osbarkeit des Systems. So müssen alle aufaddierten Abbiegewahrscheinlichkeiten eines Sensors kleiner gleich eins sein. Eine weitere Möglichkeit das Gleichungssystem zu erweitern ist die Zuhilfenahme der Vallierungssensoren. Da auf dem untersuchten Gebiet lediglich drei Valliderungssensoren verbaut sind trägt eine Einbeziehung dieser Sensoren in das LGS ebenfalls nicht zu einer Lösung bei. Eine genauere Diskussion über die Validierungssensoren und deren Verwendungsmöglichkeiten bei einem flächendeckendem Einsatz auf Kreuzungen wird in einem eigenen Unterkapitel weiter unten behandelt. \\ \\
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Eine weitere Anwendung ist die Berechnung der Abbiegewahrscheinlichkeiten. Unter der Annahme, dass alle Werte der Sensoren bekannt, allerdings f"ur einen Mischspursensor die Abbiegewahrscheinlichkeiten nicht bekannt sind. Allerdings ist auch dieses System nicht l"osbar, da abermals zu viele Unbekannte in dem System auftauchen. Auch hier sind die fehlenden Ausgangsverkehrswerte eine Kreuzung der Grund, weshalb es zu keiner Lösung kommen kann. Auch diese Anwendung wird in dem Unterkapitel zu Valliderungssensoren behandelt.[todo?]
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\subsection{Kreuzungsberechnung am Graphen}\label{sec:berechnung:graph}
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Da alle modellierten Kreuzungen der 'Ministadt' alle eingehenden Spuren mit Sensoren versehen haben, k"onnen die Gleichungen f"ur die jeweiligen Ausg"ange unabh"angig voneinander gel"ost werden. Dies erlaubt es die Ausg"ange bzw. Eing"ange mithilfe des Graphen zu berechnen.Das entwickelte Verfahren amcht sich zunutze, dass alle Eing"ange mit den Ausg"angen einer Kreuzung "uber genau einen bekannten Sensor miteinander verbunden sind.\\ \\
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F"ur Eingangsknoten wird ausgehen von diesem alle ausgehenden Kanten des Graphen verfolgt und der Wert aller darauffolgender Knoten aufaddiert. Dies entspricht der in \ref{sec:berechnung:lgs:xr} beschrieben Berechnungsmethode f"ur Eingangsknoten.
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[bild mit berechnung]
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F"ur Ausgangsknoten einer Kreuzung kann das selbe Verfahren benutzt werden. Allerdings werden alle eingehenden Kanten, entgegen der Verkehrsflussrichtung,
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vom Ausgangsknoten ausgehend, aufaddiert. F"ur Mischspursensoren wird dabei der Wert mit der an der Kante annotierten Abbiegewahrscheinlichkeit multipliziert.
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Da alle modellierten Kreuzungen der 'Ministadt' alle eingehenden Spuren mit Sensoren versehen haben, k"onnen die Gleichungen f"ur die jeweiligen Ausg"ange unabh"angig voneinander gel"ost werden. Dies erlaubt es die Ausg"ange bzw. Eing"ange mithilfe des Graphen zu berechnen. Das entwickelte Verfahren macht sich zunutze, dass alle Eing"ange mit den Ausg"angen einer Kreuzung "uber genau einen bekannten Sensor miteinander verbunden sind.\\ \\
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F"ur Eingangsknoten wird ausgehen von diesem, alle ausgehenden Kanten des Graphen verfolgt und der Wert aller darauffolgender Knoten aufaddiert. Dies entspricht der in \ref{sec:berechnung:lgs:xr} beschrieben Berechnungsmethode f"ur Eingangsknoten.
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[bild mit berechnung todo]
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F"ur Ausgangsknoten einer Kreuzung kann das selbe Verfahren benutzt werden. Allerdings werden alle eingehenden Kanten, entgegen der Verkehrsflussrichtung, vom Ausgangsknoten ausgehend, verfolgt und die Sensorwerte aufaddiert. F"ur Mischspursensoren wird dabei der Wert mit der an der Kante annotierten Abbiegewahrscheinlichkeit multipliziert.
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[bild mit berechnung]
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Wird dieses Verfahren f"ur alle Aus und Eing"ange einer Kreuzung durchgef"uhrt k"onnen f"ur alle ein Verkehrswert ausgerechnet werden.
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Wird dieses Verfahren f"ur alle Aus- und Eing"ange einer Kreuzung durchgef"uhrt k"onnen f"ur alle ein Verkehrswert ausgerechnet werden unter der Vorraussetzung, dass alle Eingangsspuren der Kreuzung mit Sensoren bestückt sind.\\ \\
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Die zeitlose Übertragen der Werte am Kreuzungseingang auf den Ausgang begründet sich mit der Tatsache, dass alle vorliegenden Sensorwerte den Verkehr über einen Zeitraum von einer Minute messen und nach ende des Intervalls einen Anzahl an Verkehrsteilnehmern ausweist, die über den Sensor gefahren sind. Die gemessenen Verkehrsteilnehmer haben die Kreuzung folglich bereits passiert. Lediglich die letzten Autos könnten sich noch auf der Kreuzung befinden. Dies wird allerdings vernachlässigt.
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\subsubsection{Verkehrsfluss zwischen Kreuzungen}\label{sec:berechnung:betweenxr}
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Zwischen Kreuzungen ist das entwickelte Modell ungenau, da Seitenstraßen und Kreuzunge nicht modelliert sind. Es kann allerdings aufgrund der Berechnungen aus \autoref{sec:berechnung:lgs:xr} ein Wert f"ur den verkehr bestimmt werden, welche von einer Kreuzung ausgehend in eine bestimmte Richtung fließt.
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Dieser Wert entspricht dem f"ur den Ausgang der Kreuzung berechneten Wert, da dieser Wert aussagt wie viele Autos die kreuzung in diese Richtung verlassen haben.\\ \\
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Dadurch dass die vorliegenden Sensordaten f"ur eine Minute gemessen wurden, kann leider nicht berechnet werden wieviel des verkehrs welcher eine kreuzung verl"asst an einer anderen wieder einfließt und welcher Teil in Seitenstraßen abgeflossen ist.
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\newpage
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\subsubsection{Sonderfall: Vallidierungssensor}\label{sec:modell:matrix:vallidate}
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Mit beiden Matrizen wird eine Kreuzung ohne Validierungssensoren vollst"andig beschrieben. Sind dagegen valliderungssensoren Vorhanden, so beschriebt die Matrix nicht mehr den kompletten Graphen wie das beispiel der [] zeigt:
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Zwischen Kreuzungen ist das entwickelte Modell ungenau, da Seitenstraßen und Kreuzungen ohne Sensoren nicht modelliert werden. Es kann allerdings aufgrund der Berechnungen aus \autoref{sec:berechnung:lgs:xr} ein Wert f"ur den Verkehr bestimmt werden, welche von einer Kreuzung ausgehend in eine bestimmte Richtung fließt.
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Dieser Wert entspricht dem f"ur den Ausgang der Kreuzung berechneten Wert, da dieser Wert aussagt wie viele Autos die Kreuzung in diese Richtung verlassen haben.\\ \\
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Dadurch dass die vorliegenden Sensordaten f"ur eine Minute gemessen wurden, kann leider nicht berechnet werden wie viel des Verkehrs, welcher eine Kreuzung verl"asst, an einer anderen wieder einfließt und welcher Teil in Seitenstraßen abgeflossen ist, da die Messungen zweier Kreuzungen nicht in eine Beziehung gesetzt werden können.
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\subsubsection{Sonderfall: Vallidierungssensor}\label{sec:berechnung:vallidate}
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[todo]
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Mit beiden Matrizen wird eine Kreuzung ohne Validierungssensoren vollst"andig beschrieben. Sind dagegen valliderungssensoren Vorhanden, so beschriebt die Matrix nicht mehr den kompletten Graphen wie das beispiel der [] zeigt:
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[Eingansmatrix]
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[Ausgangsmatrix]
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Die Verbindung von Sensor [] nach Sensor [] wird hier nicht modelliert.
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F"ur die Berechnung wird sich zeigen, dass das unerheblich ist, sofern man
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Sensor[] in der Ausgangsmatrix f"ur die Zeile [][] eintr"agt. Die Berechnung der Geradeausspur ist dann wie folgend: [] - [] = A.
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\subsubsection{Abbiegewahrscheinlichkeiten}
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da diese Richtungsangaben von der Position des Sensors abh"angt. Hierf"ur m"ussen die drei Richtungsangaben auf Kreuzungsnamen umgerechnet werden, welche auf den Ausgang der betrachteten Kreuzung folgen.
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Ermittelt man die Kreuzung, von welcher der Verkehrsteilnehmer, welche den Sensor passiert hat, so kann mithilfe der Positionen aller drei Kreuzungen bestimmt werden, in welche Richtung der Verkehr flie"st.\\ \\
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Hierf"ur werden die Positionen, angegeben in Latitude und Longitude, der jeweils zweier Kreuzungen voneinander abgezogen.
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[Rechnung]
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Nachdem Eingangs- und Ausgangsrichtung bestimmt wurden kann eine Zuordnung erfolgen.
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Eine Zuordnung zu den Tabellenwerten 'Straight', 'Left' und 'Right' kann nun anhand einer Zuordnungstabelle erfolgen:
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\begin{enumerate}
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\item{ Straight
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\begin{enumerate}
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\item{S\"uden -> Norden}
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\item{Norden -> S\"uden}
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\item{Westen -> Osten}
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\item{Osten -> Westen}
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\end{enumerate}
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}
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\item{ Left
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\begin{enumerate}
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\item{S"uden -> Westen}
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\item{Westen -> Norden}
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\item{Norden -> Osten}
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\item{Osten -> S"uden}
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\end{enumerate}
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||||
}
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||||
\item{Right
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\begin{enumerate}
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\item{S\"uden -> Osten}
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\item{Osten -> Norden}
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\item{Norden -> Westen}
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\item{Westen -> S\"uden}
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\end{enumerate}
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}
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\end{enumerate}
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Nachfolgend ein Beispiel einer Kreuzung, der A4, welche an einer Stelle eine Validierung zul"asst.
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[Eingansmatrix]
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[Ausgangsmatrix]
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Die Verbindung von Sensor [] nach Sensor [] wird hier nicht modelliert.
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F"ur die Berechnung wird sich zeigen, dass das unerheblich ist, sofern man
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Sensor[] in der Ausgangsmatrix f"ur die Zeile [][] eintr"agt. Die Berechnung der Geradeausspur ist dann wie folgend: [] - [] = A.
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\subsubsection{Abbiegewahrscheinlichkeiten}
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[todo]
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Da diese Richtungsangaben von der Position des Sensors abh"angt. Hierf"ur m"ussen die drei Richtungsangaben auf Kreuzungsnamen umgerechnet werden, welche auf den Ausgang der betrachteten Kreuzung folgen.
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Ermittelt man die Kreuzung, von welcher der Verkehrsteilnehmer, welche den Sensor passiert hat, so kann mithilfe der Positionen aller drei Kreuzungen bestimmt werden, in welche Richtung der Verkehr flie"st.\\ \\
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||||
Hierf"ur werden die Positionen, angegeben in Latitude und Longitude, der jeweils zweier Kreuzungen voneinander abgezogen.
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[Rechnung]
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||||
Nachdem Eingangs- und Ausgangsrichtung bestimmt wurden kann eine Zuordnung erfolgen.
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Eine Zuordnung zu den Tabellenwerten 'Straight', 'Left' und 'Right' kann nun anhand einer Zuordnungstabelle erfolgen:
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\begin{enumerate}
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||||
\item{ Straight
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\begin{enumerate}
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\item{S\"uden -> Norden}
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||||
\item{Norden -> S\"uden}
|
||||
\item{Westen -> Osten}
|
||||
\item{Osten -> Westen}
|
||||
\end{enumerate}
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||||
}
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||||
\item{ Left
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item{S"uden -> Westen}
|
||||
\item{Westen -> Norden}
|
||||
\item{Norden -> Osten}
|
||||
\item{Osten -> S"uden}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
}
|
||||
\item{Right
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item{S\"uden -> Osten}
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||||
\item{Osten -> Norden}
|
||||
\item{Norden -> Westen}
|
||||
\item{Westen -> S\"uden}
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||||
\end{enumerate}
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||||
}
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\end{enumerate}
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Nachfolgend ein Beispiel einer Kreuzung, der A4, welche an einer Stelle eine Validierung zul"asst.
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\begin{figure}[htbp!]
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\centering
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\fbox{\includegraphics[width=0.5\textwidth-2\fboxsep-2\fboxrule]{ext/KreuzungA4}}
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@ -307,4 +310,5 @@ Das Ziel f"ur \ref{problem:1} virtuelle Sensoren Werte zu berechnen war das erst
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Der Sensor [] kann partiell durch den Sensor [] validiert werden. Da die Autos "uber den Sensor [] in genau zwei Richtungen fahren k"onnen, kann der Fluss eindeutig bestimmt werden und es kann live berechnet werden wieviele Autos, welche "uber den Sensor [] gefahren sind nach rechts abgebogen sind, und wieviele geradeaus gefahren sind.
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S[] -> Virtual Out A3 = S[] - S[]
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S[] -> Virtual Out A23 = S[]
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S[] -> Virtual Out A23 = S[]
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\newpage
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@ -16,4 +16,5 @@ jgrapht
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jgraph
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jdbm driver
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sql
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java
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java
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lgs
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@ -197,7 +197,7 @@ Die Grundannahme f"ur das Modell ist, dass sich die Verkehrsteilnehmer an die St
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\subsection{Einschr"ankungen und Schw"achen des Modell}\label{sec:modell:limits}
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Das entwickelte Modell kann nicht alle Verkehrsverhalten modellieren. In diesem Abschnitt wird behandelt, welche Einschr"ankungen das Modell mitbringt und welche Reduktionen des Detailgrades vorgenommen wurden.\\ \\
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Das Modell kann sog. 'U-Turns', nicht modellieren. Als 'U-Turn' bezeichnet man dasjenige Verkehrsman"over, welches den Verkehrsteilnehmer von dem Kreuzungseingang einer Kreuzung zu dem Ausgang, welcher in die Richtung zeigt, aus der er gekommen ist, zurück bringt. Dieses Verkehrsverhalten ist selten zu beobachten und wurde aus diesem nicht modelliert. Desweiteren w"urde eine Modellierung dieses Man"overs eine 'U-Turn-Wahrscheinlichkeit' erfordern, welche nicht vorliegt.\\ \\
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Ein weitere, sehr elementare Schw"ache des Modells ist die Abstraktion der Sensorposition. Wie in den manuell angefertigten Kreuzungszeichnungen wird die Position eines Sensors innerhalb des Graphenmodells einem Eingang zugeordnet. Die Latitude und Longitude Werte des Sensors werden nur zur Visualisierung benutzt und nicht zur Berechnung. Dies erlaubt allerdings einen Spurwechsel, nach dem "Uberfahren eines Sensors, nicht zu modellieren. Die Genauigkeit des Modells h"angt folglich direkt mit der Entfernung des Sensors von der Kreuzung ab. Ist der Sensor weit entfernt, so kann ein Verkehrsteilnehmer die Spur nochmals wechseln. Ist der Sensor direkt vor der Haltelinie verbaut, kann die Spur nicht mehr gewechselt werden, wenn das Fahrzeug darauf steht.\\ \\
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Ein weitere, sehr elementare Schw"ache des Modells ist die Abstraktion der Sensorposition. Wie in den manuell angefertigten Kreuzungszeichnungen wird die Position eines Sensors innerhalb des Graphenmodells einem Eingang zugeordnet. Die Latitude und Longitude Werte des Sensors werden nur zur Visualisierung benutzt und nicht zur Berechnung. Dies erlaubt allerdings einen Spurwechsel, nach dem "Uberfahren eines Sensors, nicht zu modellieren. Die Genauigkeit des Modells h"angt folglich direkt mit der Entfernung des Sensors von der Kreuzung ab. Ist der Sensor weit entfernt, so kann ein Verkehrsteilnehmer die Spur nochmals wechseln. Ist der Sensor direkt vor der Haltelinie verbaut, kann die Spur nicht mehr gewechselt werden, wenn das Fahrzeug darauf steht. Sind die Sensoren eines Kreuzungseingangs auf verschiedenen Höhen in die Straße eingelassen, so können Verkehrsteilnehmer im schlechtesten Fall über zwei Sensoren fahren, wenn sie nach dem überfahren eines Sensors die Spur wechseln, welche einen Sensor weiter vorne im Kreuzungsbereich verbaut hat.\\ \\
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Neben diesen Einschr"ankungen wird nur g"ultiges Verkehrsverhalten modelliert. So k"onnen Verkehrsteilnehmer, welche zwar auf einer Rechtsabbiegerspur stehen, allerdings geradeaus fahren, nicht von dem Modell modelliert werden.\\ \\
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Es ist allerdings denkbar das Modell durch U-Turn-, Spurwechsel- und Falschfahrwahrscheinlichkeiten zu dekorieren und somit die Menge der modellierbaren Kreuzungszust"ande und -"Uberg"ange zu vergr"oßern um ein realistischeres Bild des Verkehrs zu berechnen. Allerdings lagen keine Daten "uber das Verhalten der Verkehrsteilnehmer vor.
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